{l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x-17+7y=0$$

Екі жағына 17 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x+7y=17$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+5y=-12$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$4x=-5y-12$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

\frac{1}{4} санын -5y-12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{4}-3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

5 санын -\frac{5y}{4}-3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

-\frac{25y}{4} санын 7y санына қосу.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{128}{3}$$

x=-\frac{5}{4}y-3 теңдеуінде \frac{128}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{128}{3} санын -\frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

-3 санын -\frac{160}{3} санына қосу.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x-17+7y=0$$

Екі жағына 17 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x+7y=17$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x-17+7y=0$$

Екі жағына 17 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x+7y=17$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Қысқартыңыз.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+28y=68 мәнін 20x+25y=-60 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y-28y=-60-68$$

25y санын -28y санына қосу.

$$-3y=-60-68$$

-60 санын -68 санына қосу.

$$-3y=-128$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{128}{3}$$

5x+7y=17 теңдеуінде \frac{128}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

7 санын \frac{128}{3} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{896}{3} санын алып тастаңыз.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$