{l}{4x+2y=12}{7x+18y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+2y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$4x=-2y+12$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{4} санын -2y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

7 санын -\frac{y}{2}+3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

-\frac{7y}{2} санын 18y санына қосу.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{4}{29}$$

x=-\frac{1}{2}y+3 теңдеуінде -\frac{4}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{4}{29} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

3 санын \frac{2}{29} санына қосу.

$$x=\frac{89}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

4x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x+72y=76 мәнін 28x+14y=84 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$14y-72y=84-76$$

14y санын -72y санына қосу.

$$-58y=84-76$$

84 санын -76 санына қосу.

$$-58y=8$$

Екі жағын да -58 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{4}{29}$$

7x+18y=19 теңдеуінде -\frac{4}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

18 санын -\frac{4}{29} санына көбейтіңіз.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{72}{29} санын қосыңыз.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{89}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$