{l}{3x-3y=-6}{4x+3y=-1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = - 6 } \\ { 4 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-3y=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$3x=3y-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-6\right)$$

\frac{1}{3} санын -6+3y санына көбейтіңіз.

$$x=y-2$$

Басқа теңдеуде y-2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+3y=-1.

$$4\left(y-2\right)+3y=-1$$

4 санын y-2 санына көбейтіңіз.

$$4y-8+3y=-1$$

4y санын 3y санына қосу.

$$7y-8=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$7y=7$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=1$$

x=y-2 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=1-2$$

-2 санын 1 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\\-\frac{4}{21}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-6\right),3\times 4x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$12x-12y=-24,12x+9y=-3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+9y=-3 мәнін 12x-12y=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-12y-9y=-24+3$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-9y=-24+3$$

-12y санын -9y санына қосу.

$$-21y=-24+3$$

-24 санын 3 санына қосу.

$$-21y=-21$$

Екі жағын да -21 санына бөліңіз.

$$y=1$$

4x+3y=-1 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+3=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$4x=-4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=1$$