{l}{3x=y+5}{5x-y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = y + 5 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-y=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$3x=y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=11$$

5 санын \frac{5+y}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}-y=11$$

\frac{5y}{3} санын -y санына қосу.

$$\frac{2}{3}y+\frac{25}{3}=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{3}y=\frac{8}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне \frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-y=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 11\\-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-y=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x-y=11 мәнін 3x-y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-5x-y+y=5-11$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3x-5x=5-11$$

3x санын -5x санына қосу.

$$-2x=5-11$$

5 санын -11 санына қосу.

$$-2x=-6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

5x-y=11 теңдеуінде 3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5\times 3-y=11$$

5 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$15-y=11$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-y=-4$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$