{l}{3x+y=1}{4x+4y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=1$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

4 санын \frac{-y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

-\frac{4y}{3} санын 4y санына қосу.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{5}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде \frac{5}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{8} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{5}{24} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+12y=9 мәнін 12x+4y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-12y=4-9$$

4y санын -12y санына қосу.

$$-8y=4-9$$

4 санын -9 санына қосу.

$$-8y=-5$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{8}$$

4x+4y=3 теңдеуінде \frac{5}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

4 санын \frac{5}{8} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$4x=\frac{1}{2}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$