{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z мәнін табыңыз

$$z=-3$$

$$c=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және c мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы c мәнін шешіңіз.

$$3c+5z=-15$$

Теңдеудің екі жағынан 5z санын алып тастаңыз.

$$3c=-5z-15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

\frac{1}{3} санын -5z-15 санына көбейтіңіз.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Басқа теңдеуде -\frac{5z}{3}-5 мәнін c мәнімен ауыстырыңыз, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

5 санын -\frac{5z}{3}-5 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

-\frac{25z}{3} санын 3z санына қосу.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 25 санын қосыңыз.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{16}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5 теңдеуінде -3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, c мәнін тікелей таба аласыз.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-\frac{5}{3} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$c=5-5$$

-5 санын 5 санына қосу.

$$c=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$c=0,z=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

c және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$c=0,z=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c және 5c мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Қысқартыңыз.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15c+9z=-27 мәнін 15c+25z=-75 мәнінен алып тастаңыз.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

15c санын -15c санына қосу. 15c және -15c мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25z-9z=-75+27$$

25z санын -9z санына қосу.

$$16z=-75+27$$

-75 санын 27 санына қосу.

$$16z=-48$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$z=-3$$

5c+3z=-9 теңдеуінде -3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, c мәнін тікелей таба аласыз.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

3 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$5c-9=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 9 санын қосыңыз.

$$5c=0$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$c=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$c=0,z=-3$$