{l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$25x+16y=72$$

Теңдеудің екі жағынан 16y санын алып тастаңыз.

$$25x=-16y+72$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

\frac{1}{25} санын -16y+72 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

Басқа теңдеуде \frac{-16y+72}{25} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

-5 санын \frac{-16y+72}{25} санына көбейтіңіз.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

\frac{16y}{5} санын 4y санына қосу.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{72}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{36}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

-\frac{16}{25} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{72}{25} бөлшегіне -\frac{32}{25} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{8}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

25x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына көбейтіңіз.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

Қысқартыңыз.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -125x+100y=0 мәнін -125x-80y=-360 мәнінен алып тастаңыз.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

-125x санын 125x санына қосу. -125x және 125x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-80y-100y=-360$$

-80y санын -100y санына қосу.

$$-180y=-360$$

Екі жағын да -180 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-5x+4y=0 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+4\times 2=0$$

4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-5x+8=0$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-5x=-8$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{8}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$