{l}{2x-4y=10}{6x-4y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-4y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$2x=4y+10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

\frac{1}{2} санын 4y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=2y+5$$

Басқа теңдеуде 2y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

6 санын 2y+5 санына көбейтіңіз.

$$12y+30-4y=11$$

12y санын -4y санына қосу.

$$8y+30=11$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$8y=-19$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{19}{8}$$

x=2y+5 теңдеуінде -\frac{19}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

2 санын -\frac{19}{8} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

5 санын -\frac{19}{4} санына қосу.

$$x=\frac{1}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-4y=11 мәнін 2x-4y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

-4y санын 4y санына қосу. -4y және 4y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x-6x=10-11$$

2x санын -6x санына қосу.

$$-4x=10-11$$

10 санын -11 санына қосу.

$$-4x=-1$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}$$

6x-4y=11 теңдеуінде \frac{1}{4} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

6 санын \frac{1}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$