{l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y-1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y-1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

2 санын \frac{3y-1}{2} санына көбейтіңіз.

$$3y-1+3y=16$$

3y санын 3y санына қосу.

$$6y-1=16$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$6y=17$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{17}{6}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{17}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{17}{6} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{2} бөлшегіне \frac{17}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{15}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+3y=16 мәнін 2x-3y=-1 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-3y=-1-16$$

-3y санын -3y санына қосу.

$$-6y=-1-16$$

-1 санын -16 санына қосу.

$$-6y=-17$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{17}{6}$$

2x+3y=16 теңдеуінде \frac{17}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

3 санын \frac{17}{6} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{17}{2} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{15}{2}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{15}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$