{l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y-7=0$$

Теңдеудің екі жағына да 7 санын қосыңыз.

$$2x+y=7$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+7$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

17 санын \frac{-y+7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-\frac{17y}{2} санын -11y санына қосу.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

\frac{119}{2} санын -8 санына қосу.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{103}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{39}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} теңдеуінде \frac{103}{39} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{103}{39} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{2} бөлшегіне -\frac{103}{78} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{85}{39}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x және 17x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 17 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 34x-22y-16=0 мәнін 34x+17y-119=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

34x санын -34x санына қосу. 34x және -34x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$17y+22y-119+16=0$$

17y санын 22y санына қосу.

$$39y-119+16=0$$

-119 санын 16 санына қосу.

$$39y-103=0$$

Теңдеудің екі жағына да 103 санын қосыңыз.

$$39y=103$$

Екі жағын да 39 санына бөліңіз.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0 теңдеуінде \frac{103}{39} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

-11 санын \frac{103}{39} санына көбейтіңіз.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-\frac{1133}{39} санын -8 санына қосу.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1445}{39} санын қосыңыз.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$x=\frac{85}{39}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$