{l}{2x+y=8}{2x+3y=22} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=8$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=22.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

2 санын -\frac{y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$-y+8+3y=22$$

-y санын 3y санына қосу.

$$2y+8=22$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$2y=14$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{2}y+4 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

-\frac{1}{2} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

4 санын -\frac{7}{2} санына қосу.

$$x=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+3y=22 мәнін 2x+y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-3y=8-22$$

y санын -3y санына қосу.

$$-2y=8-22$$

8 санын -22 санына қосу.

$$-2y=-14$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=7$$

2x+3y=22 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times 7=22$$

3 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$2x+21=22$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$2x=1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{2},y=7$$