{l}{2x+y=7}{4x-y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { 4 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=7$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+7$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-y=5.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-y=5$$

4 санын \frac{-y+7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-2y+14-y=5$$

-2y санын -y санына қосу.

$$-3y+14=5$$

Теңдеудің екі жағынан 14 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-9$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

-\frac{1}{2} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{2} бөлшегіне -\frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4y=4\times 7,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$8x+4y=28,8x-2y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x-2y=10 мәнін 8x+4y=28 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+4y+2y=28-10$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+2y=28-10$$

4y санын 2y санына қосу.

$$6y=28-10$$

28 санын -10 санына қосу.

$$6y=18$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=3$$

4x-y=5 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-3=5$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$4x=8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$