{l}{2x+y=45}{3x+5y=70} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=45$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+45$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+45 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+45}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

3 санын \frac{-y+45}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

-\frac{3y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{135}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{5}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} теңдеуінде \frac{5}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{7} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{45}{2} бөлшегіне -\frac{5}{14} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{155}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

Қысқартыңыз.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+10y=140 мәнін 6x+3y=135 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-10y=135-140$$

3y санын -10y санына қосу.

$$-7y=135-140$$

135 санын -140 санына қосу.

$$-7y=-5$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{7}$$

3x+5y=70 теңдеуінде \frac{5}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

5 санын \frac{5}{7} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{7} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{465}{7}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{155}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$