{l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+7y=22$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$2x=-7y+22$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

\frac{1}{2} санын -7y+22 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Басқа теңдеуде -\frac{7y}{2}+11 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

2 санын -\frac{7y}{2}+11 санына көбейтіңіз.

$$-7y+22-3y=-14$$

-7y санын -3y санына қосу.

$$-10y+22=-14$$

Теңдеудің екі жағынан 22 санын алып тастаңыз.

$$-10y=-36$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{18}{5}$$

x=-\frac{7}{2}y+11 теңдеуінде \frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{18}{5} санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

11 санын -\frac{63}{5} санына қосу.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-3y=-14 мәнін 2x+7y=22 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y+3y=22+14$$

7y санын 3y санына қосу.

$$10y=22+14$$

22 санын 14 санына қосу.

$$10y=36$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{18}{5}$$

2x-3y=-14 теңдеуінде \frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

-3 санын \frac{18}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{54}{5} санын қосыңыз.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$