{l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=362$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y+362$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y+362 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+181$$

Басқа теңдеуде -2y+181 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=153.5.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

3 санын -2y+181 санына көбейтіңіз.

$$-6y+543+2y=153.5$$

-6y санын 2y санына қосу.

$$-4y+543=153.5$$

Теңдеудің екі жағынан 543 санын алып тастаңыз.

$$-4y=-389.5$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=97.375$$

x=-2y+181 теңдеуінде 97.375 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times 97.375+181$$

-2 санын 97.375 санына көбейтіңіз.

$$x=-194.75+181$$

181 санын -194.75 санына қосу.

$$x=-13.75$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Қысқартыңыз.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+4y=307 мәнін 6x+12y=1086 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-4y=1086-307$$

12y санын -4y санына қосу.

$$8y=1086-307$$

1086 санын -307 санына қосу.

$$8y=779$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{779}{8}$$

3x+2y=153.5 теңдеуінде \frac{779}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

2 санын \frac{779}{8} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{779}{4} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{55}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$