{l}{2x+3y=5}{7x=6-5y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{7}{11}\approx -0.636363636$$

$$y = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5y қосу.

$$7x+5y=6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+5y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=6$$

7 санын \frac{-3y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+5y=6$$

-\frac{21y}{2} санын 5y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{35}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{23}{11}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{23}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{11}+\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{23}{11} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{69}{22}+\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{69}{22} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{7}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5y қосу.

$$7x+5y=6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 5-3\times 7}&\frac{2}{2\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 6\\\frac{7}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\\\frac{23}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5y қосу.

$$7x+5y=6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

2x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 5y=2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$14x+21y=35,14x+10y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 14x+10y=12 мәнін 14x+21y=35 мәнінен алып тастаңыз.

$$14x-14x+21y-10y=35-12$$

14x санын -14x санына қосу. 14x және -14x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y-10y=35-12$$

21y санын -10y санына қосу.

$$11y=35-12$$

35 санын -12 санына қосу.

$$11y=23$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{23}{11}$$

7x+5y=6 теңдеуінде \frac{23}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+5\times \frac{23}{11}=6$$

5 санын \frac{23}{11} санына көбейтіңіз.

$$7x+\frac{115}{11}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{115}{11} санын алып тастаңыз.

$$7x=-\frac{49}{11}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{7}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$