{l}{11x+3y=14}{x+7y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 14 } \\ { x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$11x+3y=14$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$11x=-3y+14$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

\frac{1}{11} санын -3y+14 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+14}{11} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+7y=8.

$$-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}+7y=8$$

-\frac{3y}{11} санын 7y санына қосу.

$$\frac{74}{11}y+\frac{14}{11}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{14}{11} санын алып тастаңыз.

$$\frac{74}{11}y=\frac{74}{11}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{74}{11} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-3+14}{11}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{14}{11} бөлшегіне -\frac{3}{11} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 14-\frac{3}{74}\times 8\\-\frac{1}{74}\times 14+\frac{11}{74}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

11x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына көбейтіңіз.

$$11x+3y=14,11x+11\times 7y=11\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$11x+3y=14,11x+77y=88$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 11x+77y=88 мәнін 11x+3y=14 мәнінен алып тастаңыз.

$$11x-11x+3y-77y=14-88$$

11x санын -11x санына қосу. 11x және -11x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-77y=14-88$$

3y санын -77y санына қосу.

$$-74y=14-88$$

14 санын -88 санына қосу.

$$-74y=-74$$

Екі жағын да -74 санына бөліңіз.

$$y=1$$

x+7y=8 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+7=8$$

Теңдеудің екі жағынан 7 санын алып тастаңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=1$$