{l}{1=2r-3s}{4=3r+2s} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

r, s мәнін табыңыз

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2r-3s=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$3r+2s=4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және r мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы r мәнін шешіңіз.

$$2r-3s=1$$

Теңдеудің екі жағына да 3s санын қосыңыз.

$$2r=3s+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

\frac{1}{2} санын 3s+1 санына көбейтіңіз.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3s+1}{2} мәнін r мәнімен ауыстырыңыз, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

3 санын \frac{3s+1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

\frac{9s}{2} санын 2s санына қосу.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$s=\frac{5}{13}$$

r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{5}{13} мәнін s мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, r мәнін тікелей таба аласыз.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{13} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне \frac{15}{26} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$r=\frac{14}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2r-3s=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$3r+2s=4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

r және s матрица элементтерін шығарыңыз.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2r-3s=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$3r+2s=4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r және 3r мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6r+4s=8 мәнін 6r-9s=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

6r санын -6r санына қосу. 6r және -6r мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9s-4s=3-8$$

-9s санын -4s санына қосу.

$$-13s=3-8$$

3 санын -8 санына қосу.

$$-13s=-5$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$s=\frac{5}{13}$$

3r+2s=4 теңдеуінде \frac{5}{13} мәнін s мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, r мәнін тікелей таба аласыз.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

2 санын \frac{5}{13} санына көбейтіңіз.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{13} санын алып тастаңыз.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$r=\frac{14}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$