{l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$0.2x+0.1y=-180$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{10} санын алып тастаңыз.

$$0.2x=-0.1y-180$$

Екі жағын да 5 мәніне көбейтіңіз.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

5 санын -\frac{y}{10}-180 санына көбейтіңіз.

$$x=-0.5y-900$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}-900 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

-0.7 санын -\frac{y}{2}-900 санына көбейтіңіз.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

\frac{7y}{20} санын -\frac{y}{5} санына қосу.

$$0.15y+630=480$$

Теңдеудің екі жағынан 630 санын алып тастаңыз.

$$0.15y=-150$$

Теңдеудің екі жағын да 0.15 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1000$$

x=-0.5y-900 теңдеуінде -1000 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

-0.5 санын -1000 санына көбейтіңіз.

$$x=500-900$$

-900 санын 500 санына қосу.

$$x=-400$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-400,y=-1000$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-400,y=-1000$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

\frac{x}{5} және -\frac{7x}{10} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -0.7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.2 санына көбейтіңіз.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

Қысқартыңыз.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -0.14x-0.04y=96 мәнін -0.14x-0.07y=126 мәнінен алып тастаңыз.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

-\frac{7x}{50} санын \frac{7x}{50} санына қосу. -\frac{7x}{50} және \frac{7x}{50} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

-\frac{7y}{100} санын \frac{y}{25} санына қосу.

$$-0.03y=126-96$$

126 санын -96 санына қосу.

$$-0.03y=30$$

Теңдеудің екі жағын да -0.03 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1000$$

-0.7x-0.2y=480 теңдеуінде -1000 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

-0.2 санын -1000 санына көбейтіңіз.

$$-0.7x+200=480$$

Теңдеудің екі жағынан 200 санын алып тастаңыз.

$$-0.7x=280$$

Теңдеудің екі жағын да -0.7 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-400$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-400,y=-1000$$