{l}{0=x+3y+7}{0=2x+y+9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = x + 3 y + 7 } \\ { 0 = 2 x + y + 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$x+3y+7=0$$

Екі жағынан да 7 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x+3y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2x+y+9=0$$

Екі жағынан да 9 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x+y=-9$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+3y=-7$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$x=-3y-7$$

Басқа теңдеуде -3y-7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=-9.

$$2\left(-3y-7\right)+y=-9$$

2 санын -3y-7 санына көбейтіңіз.

$$-6y-14+y=-9$$

-6y санын y санына қосу.

$$-5y-14=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 14 санын қосыңыз.

$$-5y=5$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

x=-3y-7 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3\left(-1\right)-7$$

-3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=3-7$$

-7 санын 3 санына қосу.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$x+3y+7=0$$

Екі жағынан да 7 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x+3y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2x+y+9=0$$

Екі жағынан да 9 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x+y=-9$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-7\right)+\frac{3}{5}\left(-9\right)\\\frac{2}{5}\left(-7\right)-\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$x+3y+7=0$$

Екі жағынан да 7 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x+3y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$2x+y+9=0$$

Екі жағынан да 9 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x+y=-9$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\times 3y=2\left(-7\right),2x+y=-9$$

Қысқартыңыз.

$$2x+6y=-14,2x+y=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+y=-9 мәнін 2x+6y=-14 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+6y-y=-14+9$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-y=-14+9$$

6y санын -y санына қосу.

$$5y=-14+9$$

-14 санын 9 санына қосу.

$$5y=-5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

2x+y=-9 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-1=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$2x=-8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=-1$$