{l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-10$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-8x-9y=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 9y санын қосыңыз.

$$-8x=9y-10$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

-\frac{1}{8} санын 9y-10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x-3y=10.

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

-4 санын -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

\frac{9y}{2} санын -3y санына қосу.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$\frac{3}{2}y=15$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=10$$

x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

-\frac{9}{8} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне -\frac{45}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-10,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

-8x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына көбейтіңіз.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32x+24y=-80 мәнін 32x+36y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

32x санын -32x санына қосу. 32x және -32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y-24y=40+80$$

36y санын -24y санына қосу.

$$12y=40+80$$

40 санын 80 санына қосу.

$$12y=120$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$y=10$$

-4x-3y=10 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x-3\times 10=10$$

-3 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$-4x-30=10$$

Теңдеудің екі жағына да 30 санын қосыңыз.

$$-4x=40$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=10$$