{l}{-7x+2y=-24}{5x-y=18} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 24 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-7x+2y=-24$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$-7x=-2y-24$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-24\right)$$

-\frac{1}{7} санын -2y-24 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{24+2y}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=18.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)-y=18$$

5 санын \frac{24+2y}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{10}{7}y+\frac{120}{7}-y=18$$

\frac{10y}{7} санын -y санына қосу.

$$\frac{3}{7}y+\frac{120}{7}=18$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{120}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{7}y=\frac{6}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{7}\times 2+\frac{24}{7}$$

\frac{2}{7} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4+24}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{24}{7} бөлшегіне \frac{4}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-24\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-24\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

-7x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -7 санына көбейтіңіз.

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-24\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

Қысқартыңыз.

$$-35x+10y=-120,-35x+7y=-126$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -35x+7y=-126 мәнін -35x+10y=-120 мәнінен алып тастаңыз.

$$-35x+35x+10y-7y=-120+126$$

-35x санын 35x санына қосу. -35x және 35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-7y=-120+126$$

10y санын -7y санына қосу.

$$3y=-120+126$$

-120 санын 126 санына қосу.

$$3y=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=2$$

5x-y=18 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-2=18$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$5x=20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=2$$