{l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$-3y+4x=13$$

Теңдеудің екі жағынан 4x санын алып тастаңыз.

$$-3y=-4x+13$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-\frac{1}{3} санын -4x+13 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{4x-13}{3} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

-5 санын \frac{4x-13}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-\frac{20x}{3} санын -6x санына қосу.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{65}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{38}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

\frac{4}{3} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{13}{3} бөлшегіне \frac{28}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=5,x=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y және -5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына көбейтіңіз.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

Қысқартыңыз.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15y+18x=201 мәнін 15y-20x=-65 мәнінен алып тастаңыз.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

15y санын -15y санына қосу. 15y және -15y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-20x-18x=-65-201$$

-20x санын -18x санына қосу.

$$-38x=-65-201$$

-65 санын -201 санына қосу.

$$-38x=-266$$

Екі жағын да -38 санына бөліңіз.

$$x=7$$

-5y-6x=-67 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5y-6\times 7=-67$$

-6 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$-5y-42=-67$$

Теңдеудің екі жағына да 42 санын қосыңыз.

$$-5y=-25$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=7$$