{l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-3x+y=10$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$-3x=-y+10$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

-\frac{1}{3} санын -y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-10+y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+4y=0.

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

-2 санын \frac{-10+y}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

-\frac{2y}{3} санын 4y санына қосу.

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{20}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{10}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

\frac{1}{3} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{10}{3} бөлшегіне -\frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

-3x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына көбейтіңіз.

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

Қысқартыңыз.

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-12y=0 мәнін 6x-2y=-20 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y+12y=-20$$

-2y санын 12y санына қосу.

$$10y=-20$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

-2x+4y=0 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

4 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-8=0$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$-2x=8$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=-2$$