{l}{-2x+15y=-24}{2x+9y=24} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 15 y = - 24 } \\ { 2 x + 9 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x+15y=-24$$

Теңдеудің екі жағынан 15y санын алып тастаңыз.

$$-2x=-15y-24$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15y-24\right)$$

-\frac{1}{2} санын -15y-24 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{15}{2}y+12$$

Басқа теңдеуде \frac{15y}{2}+12 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+9y=24.

$$2\left(\frac{15}{2}y+12\right)+9y=24$$

2 санын \frac{15y}{2}+12 санына көбейтіңіз.

$$15y+24+9y=24$$

15y санын 9y санына қосу.

$$24y+24=24$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$24y=0$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$y=0$$

x=\frac{15}{2}y+12 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{15}{-2\times 9-15\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{24}&\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-24\right)+\frac{5}{16}\times 24\\\frac{1}{24}\left(-24\right)+\frac{1}{24}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=12,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

-2x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$2\left(-2\right)x+2\times 15y=2\left(-24\right),-2\times 2x-2\times 9y=-2\times 24$$

Қысқартыңыз.

$$-4x+30y=-48,-4x-18y=-48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x-18y=-48 мәнін -4x+30y=-48 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x+30y+18y=-48+48$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$30y+18y=-48+48$$

30y санын 18y санына қосу.

$$48y=-48+48$$

-48 санын 48 санына қосу.

$$48y=0$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$y=0$$

2x+9y=24 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x=24$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=0$$