{l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-10x-6y=12$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$-10x=6y+12$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

-\frac{1}{10} санын 12+6y санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-6}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+7y=-14.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

4 санын \frac{-3y-6}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

-\frac{12y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{24}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-\frac{3}{5} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{6}{5} бөлшегіне \frac{6}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -10 санына көбейтіңіз.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -40x-70y=140 мәнін -40x-24y=48 мәнінен алып тастаңыз.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

-40x санын 40x санына қосу. -40x және 40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-24y+70y=48-140$$

-24y санын 70y санына қосу.

$$46y=48-140$$

48 санын -140 санына қосу.

$$46y=-92$$

Екі жағын да 46 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

4x+7y=-14 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

7 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$4x-14=-14$$

Теңдеудің екі жағына да 14 санын қосыңыз.

$$4x=0$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-2$$