{l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

Екі жағын да 8 мәніне көбейтіңіз.

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

8 санын y-\frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=8y-20$$

Басқа теңдеуде 8y-20 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+\frac{1}{3}y=13.

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

3 санын 8y-20 санына көбейтіңіз.

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

24y санын \frac{y}{3} санына қосу.

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$\frac{73}{3}y=73$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{73}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=8y-20 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=8\times 3-20$$

8 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=24-20$$

-20 санын 24 санына қосу.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

\frac{x}{8} және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{8} санына көбейтіңіз.

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8} мәнін \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

\frac{3x}{8} санын -\frac{3x}{8} санына қосу. \frac{3x}{8} және -\frac{3x}{8} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

-3y санын -\frac{y}{24} санына қосу.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{15}{2} бөлшегіне -\frac{13}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{73}{24} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

3x+\frac{1}{3}y=13 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

\frac{1}{3} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+1=13$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$3x=12$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=3$$