{l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,10.

$$2x-20=y$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-20-y=0$$

Екі жағына 20 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-y=20$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x+45+7y=0$$

Екі жағынан да 45 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x+7y=-45$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=20$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+20$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

\frac{1}{2} санын y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+10 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

5 санын \frac{y}{2}+10 санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

\frac{5y}{2} санын 7y санына қосу.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Теңдеудің екі жағынан 50 санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10 теңдеуінде -10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

\frac{1}{2} санын -10 санына көбейтіңіз.

$$x=-5+10$$

10 санын -5 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,10.

$$2x-20=y$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-20-y=0$$

Екі жағына 20 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-y=20$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x+45+7y=0$$

Екі жағынан да 45 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x+7y=-45$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,10.

$$2x-20=y$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-20-y=0$$

Екі жағына 20 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-y=20$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 7y қосу.

$$5x+45+7y=0$$

Екі жағынан да 45 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x+7y=-45$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Қысқартыңыз.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+14y=-90 мәнін 10x-5y=100 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-5y-14y=100+90$$

-5y санын -14y санына қосу.

$$-19y=100+90$$

100 санын 90 санына қосу.

$$-19y=190$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=-10$$

5x+7y=-45 теңдеуінде -10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

7 санын -10 санына көбейтіңіз.

$$5x-70=-45$$

Теңдеудің екі жағына да 70 санын қосыңыз.

$$5x=25$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-10$$