{l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 50 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 шығару үшін, 2 және 27 сандарын көбейтіңіз.

$$54x+45y=50400$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$54x+45y=50400$$

Теңдеудің екі жағынан 45y санын алып тастаңыз.

$$54x=-45y+50400$$

Екі жағын да 54 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

\frac{1}{54} санын -45y+50400 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{11}{10} санын -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{11y}{12} санын \frac{43y}{5} санына қосу.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3080}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{461}{60} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} теңдеуінде \frac{80}{461} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{80}{461} санын -\frac{5}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2800}{3} бөлшегіне -\frac{200}{1383} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 50 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 шығару үшін, 2 және 27 сандарын көбейтіңіз.

$$54x+45y=50400$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 50 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 шығару үшін, 2 және 27 сандарын көбейтіңіз.

$$54x+45y=50400$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x және \frac{11x}{10} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{11}{10} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 54 санына көбейтіңіз.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 мәнін \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{297x}{5} санын -\frac{297x}{5} санына қосу. \frac{297x}{5} және -\frac{297x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{99y}{2} санын -\frac{2322y}{5} санына қосу.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

55440 санын -55512 санына қосу.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{4149}{10} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 теңдеуінде \frac{80}{461} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{80}{461} санын \frac{43}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{688}{461} санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{10} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$