{l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=9$$

$$y=21$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

\frac{3}{2} санын -\frac{y}{7}+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

\frac{1}{3} санын -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

-\frac{y}{14} санын -\frac{5y}{7} санына қосу.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{14} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=21$$

x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2} теңдеуінде 21 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

-\frac{3}{14} санын 21 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{27}{2} бөлшегіне -\frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=21$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=9,y=21$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

\frac{2x}{3} және \frac{x}{3} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{3} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{2}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 мәнін \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

\frac{2x}{9} санын -\frac{2x}{9} санына қосу. \frac{2x}{9} және -\frac{2x}{9} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

\frac{y}{21} санын \frac{10y}{21} санына қосу.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

3 санын 8 санына қосу.

$$\frac{11}{21}y=11$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{21} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=21$$

\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12 теңдеуінде 21 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

-\frac{5}{7} санын 21 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$\frac{1}{3}x=3$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=21$$