{c}{x+y=0}{4y+x=1} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 0 } \\ { 4 y + x = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=0$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y$$

Басқа теңдеуде -y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+4y=1.

$$-y+4y=1$$

-y санын 4y санына қосу.

$$3y=1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}$$

x=-y теңдеуінде \frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-1}&-\frac{1}{4-1}\\-\frac{1}{4-1}&\frac{1}{4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+4y=1 мәнін x+y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+y-4y=-1$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-4y=-1$$

y санын -4y санына қосу.

$$-3y=-1$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}$$

x+4y=1 теңдеуінде \frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+4\times \frac{1}{3}=1$$

4 санын \frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{4}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$