{c}{4x+5y=6}{x+7y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+5y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$4x=-5y+6$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4} санын -5y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

-\frac{5y}{4} санын 7y санына қосу.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{6}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2} теңдеуінде \frac{6}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{6}{23} санын -\frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{2} бөлшегіне -\frac{15}{46} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{27}{23}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+28y=12 мәнін 4x+5y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y-28y=6-12$$

5y санын -28y санына қосу.

$$-23y=6-12$$

6 санын -12 санына қосу.

$$-23y=-6$$

Екі жағын да -23 санына бөліңіз.

$$y=\frac{6}{23}$$

x+7y=3 теңдеуінде \frac{6}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

7 санын \frac{6}{23} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{42}{23} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{27}{23}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$