{c}{4x+2y=50}{x+y=30} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-5$$

$$y=35$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+2y=50$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$4x=-2y+50$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{4} санын -2y+50 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+25}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=30.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=30$$

-\frac{y}{2} санын y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=30$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{35}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=35$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2} теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 35+\frac{25}{2}$$

-\frac{1}{2} санын 35 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-35+25}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{25}{2} бөлшегіне -\frac{35}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-5,y=35$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-30\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\35\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-5,y=35$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$4x+2y=50,4x+4y=120$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+4y=120 мәнін 4x+2y=50 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+2y-4y=50-120$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-4y=50-120$$

2y санын -4y санына қосу.

$$-2y=50-120$$

50 санын -120 санына қосу.

$$-2y=-70$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=35$$

x+y=30 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+35=30$$

Теңдеудің екі жағынан 35 санын алып тастаңыз.

$$x=-5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-5,y=35$$