{c}{4x+160y=128}{x+2y0y=82} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 160 y = 128 } \\ { x + 2 y 0 y = 82 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{y_{0}-20}$$

$$y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

$$y_{0}\neq 20$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+160y=128$$

Теңдеудің екі жағынан 160y санын алып тастаңыз.

$$4x=-160y+128$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-160y+128\right)$$

\frac{1}{4} санын -160y+128 санына көбейтіңіз.

$$x=-40y+32$$

Басқа теңдеуде -40y+32 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y_{0}y=82.

$$-40y+32+2y_{0}y=82$$

-40y санын 2y_{0}y санына қосу.

$$\left(2y_{0}-40\right)y+32=82$$

Теңдеудің екі жағынан 32 санын алып тастаңыз.

$$\left(2y_{0}-40\right)y=50$$

Екі жағын да -40+2y_{0} санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

x=-40y+32 теңдеуінде \frac{25}{-20+y_{0}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-40\times \frac{25}{y_{0}-20}+32$$

-40 санын \frac{25}{-20+y_{0}} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1000}{y_{0}-20}+32$$

32 санын -\frac{1000}{-20+y_{0}} санына қосу.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20},y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2y_{0}}{4\times 2y_{0}-160}&-\frac{160}{4\times 2y_{0}-160}\\-\frac{1}{4\times 2y_{0}-160}&\frac{4}{4\times 2y_{0}-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{y_{0}}{4\left(y_{0}-20\right)}&-\frac{20}{y_{0}-20}\\-\frac{1}{8\left(y_{0}-20\right)}&\frac{1}{2\left(y_{0}-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{y_{0}}{4\left(y_{0}-20\right)}\times 128+\left(-\frac{20}{y_{0}-20}\right)\times 82\\\left(-\frac{1}{8\left(y_{0}-20\right)}\right)\times 128+\frac{1}{2\left(y_{0}-20\right)}\times 82\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20}\\\frac{25}{y_{0}-20}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20},y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+160y=128,4x+4\times 2y_{0}y=4\times 82$$

Қысқартыңыз.

$$4x+160y=128,4x+8y_{0}y=328$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+8y_{0}y=328 мәнін 4x+160y=128 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+160y+\left(-8y_{0}\right)y=128-328$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$160y+\left(-8y_{0}\right)y=128-328$$

160y санын -8y_{0}y санына қосу.

$$\left(160-8y_{0}\right)y=128-328$$

128 санын -328 санына қосу.

$$\left(160-8y_{0}\right)y=-200$$

Екі жағын да 160-8y_{0} санына бөліңіз.

$$y=-\frac{25}{20-y_{0}}$$

x+2y_{0}y=82 теңдеуінде -\frac{25}{20-y_{0}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2y_{0}\left(-\frac{25}{20-y_{0}}\right)=82$$

2y_{0} санын -\frac{25}{20-y_{0}} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{50y_{0}}{20-y_{0}}=82$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{50y_{0}}{20-y_{0}} санын қосыңыз.

$$x=\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{20-y_{0}}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{20-y_{0}},y=-\frac{25}{20-y_{0}}$$