{c}{2x+y=5}{3x-4y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-4y=2.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=2$$

3 санын \frac{-y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}-4y=2$$

-\frac{3y}{2} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\\frac{3}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$6x+3y=15,6x-8y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-8y=4 мәнін 6x+3y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+3y+8y=15-4$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+8y=15-4$$

3y санын 8y санына қосу.

$$11y=15-4$$

15 санын -4 санына қосу.

$$11y=11$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=1$$

3x-4y=2 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-4=2$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$