{c}{2x+y=5}{-4x+6y=12} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

-4 санын \frac{-y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$2y-10+6y=12$$

2y санын 6y санына қосу.

$$8y-10=12$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$8y=22$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{4}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{11}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{11}{4} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{11}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{9}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

2x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x+12y=24 мәнін -8x-4y=-20 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

-8x санын 8x санына қосу. -8x және 8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-12y=-20-24$$

-4y санын -12y санына қосу.

$$-16y=-20-24$$

-20 санын -24 санына қосу.

$$-16y=-44$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{4}$$

-4x+6y=12 теңдеуінде \frac{11}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

6 санын \frac{11}{4} санына көбейтіңіз.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{33}{2} санын алып тастаңыз.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$