{c}{2x+4y=1}{5x-y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде -2y+\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

5 санын -2y+\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

-10y санын -y санына қосу.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{22}$$

x=-2y+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{1}{22} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

-2 санын \frac{1}{22} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{1}{11} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{9}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-2y=4 мәнін 10x+20y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y+2y=5-4$$

20y санын 2y санына қосу.

$$22y=5-4$$

5 санын -4 санына қосу.

$$22y=1$$

Екі жағын да 22 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{22}$$

5x-y=2 теңдеуінде \frac{1}{22} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{22} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$