{c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+2y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$2x=-2y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын -2y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+2$$

Басқа теңдеуде -y+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

-2 санын -y+2 санына көбейтіңіз.

$$2y-4+3y=-9$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y-4=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$5y=-5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

x=-y+2 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

-1 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=1+2$$

2 санын 1 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

2x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+6y=-18 мәнін -4x-4y=-8 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-6y=-8+18$$

-4y санын -6y санына қосу.

$$-10y=-8+18$$

-8 санын 18 санына қосу.

$$-10y=10$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

-2x+3y=-9 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$-2x-3=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$-2x=-6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-1$$