{c}{-x+3y=6}{-2x+5y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { - x + 3 y = 6 } \\ { - 2 x + 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-x=-3y+6$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

-1 санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=3y-6$$

Басқа теңдеуде -6+3y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+5y=11.

$$-2\left(3y-6\right)+5y=11$$

-2 санын -6+3y санына көбейтіңіз.

$$-6y+12+5y=11$$

-6y санын 5y санына қосу.

$$-y+12=11$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$-y=-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=1$$

x=3y-6 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3-6$$

-6 санын 3 санына қосу.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{-5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{1}{-5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 6-3\times 11\\2\times 6-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

-x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына көбейтіңіз.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 3y=-2\times 6,-\left(-2\right)x-5y=-11$$

Қысқартыңыз.

$$2x-6y=-12,2x-5y=-11$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-5y=-11 мәнін 2x-6y=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-6y+5y=-12+11$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y+5y=-12+11$$

-6y санын 5y санына қосу.

$$-y=-12+11$$

-12 санын 11 санына қосу.

$$-y=-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=1$$

-2x+5y=11 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+5=11$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-2x=6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=1$$