{l}{y=2x+1}{5y-7x=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-2x=1$$

Теңдеудің екі жағына да 2x санын қосыңыз.

$$y=2x+1$$

Басқа теңдеуде 2x+1 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y-7x=11.

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

5 санын 2x+1 санына көбейтіңіз.

$$10x+5-7x=11$$

10x санын -7x санына қосу.

$$3x+5=11$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

y=2x+1 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2\times 2+1$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$y=4+1$$

1 санын 4 санына қосу.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=5,x=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

Қысқартыңыз.

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5y-7x=11 мәнін 5y-10x=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

5y санын -5y санына қосу. 5y және -5y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10x+7x=5-11$$

-10x санын 7x санына қосу.

$$-3x=5-11$$

5 санын -11 санына қосу.

$$-3x=-6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

5y-7x=11 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y-7\times 2=11$$

-7 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$5y-14=11$$

Теңдеудің екі жағына да 14 санын қосыңыз.

$$5y=25$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=2$$