{l}{x-y=5}{5x-8y=19} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 5 x - 8 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+5$$

Басқа теңдеуде y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-8y=19.

$$5\left(y+5\right)-8y=19$$

5 санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$5y+25-8y=19$$

5y санын -8y санына қосу.

$$-3y+25=19$$

Теңдеудің екі жағынан 25 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=y+5 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2+5$$

5 санын 2 санына қосу.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\\\frac{5}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 5,5x-8y=19$$

Қысқартыңыз.

$$5x-5y=25,5x-8y=19$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x-8y=19 мәнін 5x-5y=25 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x-5y+8y=25-19$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-5y+8y=25-19$$

-5y санын 8y санына қосу.

$$3y=25-19$$

25 санын -19 санына қосу.

$$3y=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=2$$

5x-8y=19 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-8\times 2=19$$

-8 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$5x-16=19$$

Теңдеудің екі жағына да 16 санын қосыңыз.

$$5x=35$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=2$$