{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Теңдеудің екі жағына да by санын қосыңыз.

$$ax=by-8$$

Екі жағын да a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} санын by-8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{by-8}{a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b санын \frac{by-8}{a} санына көбейтіңіз.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a} санын ay санына қосу.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a} санын 1 санына қосу.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{a-8b}{a} санын алып тастаңыз.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Екі жағын да a+\frac{b^{2}}{a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} теңдеуінде \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} санын \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a} санын \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax және bx мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді b санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a санына көбейтіңіз.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Қысқартыңыз.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы abx+a^{2}y+a=0 мәнін abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax санын -bax санына қосу. bax және -bax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y санын -a^{2}y санына қосу.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Теңдеудің екі жағынан 8b-a санын алып тастаңыз.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Екі жағын да -b^{2}-a^{2} санына бөліңіз.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 теңдеуінде -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a санын -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} санына көбейтіңіз.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} санын 1 санына қосу.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} санын алып тастаңыз.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Екі жағын да b санына бөліңіз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Теңдеудің екі жағына да by санын қосыңыз.

$$ax=by-8$$

Екі жағын да a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} санын by-8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{by-8}{a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b санын \frac{by-8}{a} санына көбейтіңіз.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a} санын ay санына қосу.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a} санын 1 санына қосу.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{a-8b}{a} санын алып тастаңыз.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Екі жағын да a+\frac{b^{2}}{a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} теңдеуінде \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} санын \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a} санын \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax және bx мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді b санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a санына көбейтіңіз.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Қысқартыңыз.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы abx+a^{2}y+a=0 мәнін abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax санын -bax санына қосу. bax және -bax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y санын -a^{2}y санына қосу.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Теңдеудің екі жағынан 8b-a санын алып тастаңыз.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Екі жағын да -b^{2}-a^{2} санына бөліңіз.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 теңдеуінде -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a санын -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} санына көбейтіңіз.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} санын 1 санына қосу.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} санын алып тастаңыз.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Екі жағын да b санына бөліңіз.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$