{l}{9x+2y=62}{4x+4y=36} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x+2y=62$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$9x=-2y+62$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

\frac{1}{9} санын -2y+62 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+62}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

4 санын \frac{-2y+62}{9} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

-\frac{8y}{9} санын 4y санына қосу.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{248}{9} санын алып тастаңыз.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{28}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} теңдеуінде \frac{19}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{7} санын -\frac{2}{9} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{62}{9} бөлшегіне -\frac{38}{63} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{44}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

9x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

Қысқартыңыз.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 36x+36y=324 мәнін 36x+8y=248 мәнінен алып тастаңыз.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

36x санын -36x санына қосу. 36x және -36x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y-36y=248-324$$

8y санын -36y санына қосу.

$$-28y=248-324$$

248 санын -324 санына қосу.

$$-28y=-76$$

Екі жағын да -28 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{7}$$

4x+4y=36 теңдеуінде \frac{19}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

4 санын \frac{19}{7} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{76}{7} санын алып тастаңыз.

$$4x=\frac{176}{7}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{44}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$