{l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+20y=11400$$

Теңдеудің екі жағынан 20y санын алып тастаңыз.

$$8x=-20y+11400$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

\frac{1}{8} санын -20y+11400 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+1425 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x+30y=22500.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

10 санын -\frac{5y}{2}+1425 санына көбейтіңіз.

$$-25y+14250+30y=22500$$

-25y санын 30y санына қосу.

$$5y+14250=22500$$

Теңдеудің екі жағынан 14250 санын алып тастаңыз.

$$5y=8250$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=1650$$

x=-\frac{5}{2}y+1425 теңдеуінде 1650 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

-\frac{5}{2} санын 1650 санына көбейтіңіз.

$$x=-4125+1425$$

1425 санын -4125 санына қосу.

$$x=-2700$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2700,y=1650$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2700,y=1650$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

Қысқартыңыз.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 80x+240y=180000 мәнін 80x+200y=114000 мәнінен алып тастаңыз.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

80x санын -80x санына қосу. 80x және -80x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$200y-240y=114000-180000$$

200y санын -240y санына қосу.

$$-40y=114000-180000$$

114000 санын -180000 санына қосу.

$$-40y=-66000$$

Екі жағын да -40 санына бөліңіз.

$$y=1650$$

10x+30y=22500 теңдеуінде 1650 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x+30\times 1650=22500$$

30 санын 1650 санына көбейтіңіз.

$$10x+49500=22500$$

Теңдеудің екі жағынан 49500 санын алып тастаңыз.

$$10x=-27000$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=-2700$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2700,y=1650$$