{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$78x+40y=1280$$

Теңдеудің екі жағынан 40y санын алып тастаңыз.

$$78x=-40y+1280$$

Екі жағын да 78 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} санын -40y+1280 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Басқа теңдеуде \frac{-20y+640}{39} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

120 санын \frac{-20y+640}{39} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

-\frac{800y}{13} санын 8y санына қосу.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25600}{13} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{696}{13} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{450}{29}$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} теңдеуінде -\frac{450}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{450}{29} санын -\frac{20}{39} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{640}{39} бөлшегіне \frac{3000}{377} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x және 120x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 120 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 78 санына көбейтіңіз.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

Қысқартыңыз.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9360x+624y=218400 мәнін 9360x+4800y=153600 мәнінен алып тастаңыз.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

9360x санын -9360x санына қосу. 9360x және -9360x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4800y-624y=153600-218400$$

4800y санын -624y санына қосу.

$$4176y=153600-218400$$

153600 санын -218400 санына қосу.

$$4176y=-64800$$

Екі жағын да 4176 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{450}{29}$$

120x+8y=2800 теңдеуінде -\frac{450}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

8 санын -\frac{450}{29} санына көбейтіңіз.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3600}{29} санын қосыңыз.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$x=\frac{2120}{87}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$