{l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=13$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+13$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+13}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x-2y=-2.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

-9 санын \frac{3y+13}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

-\frac{27y}{5} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{117}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{37}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{107}{37}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5} теңдеуінде -\frac{107}{37} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{107}{37} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{5} бөлшегіне -\frac{321}{185} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{32}{37}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

5x және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -45x-10y=-10 мәнін -45x+27y=-117 мәнінен алып тастаңыз.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

-45x санын 45x санына қосу. -45x және 45x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$27y+10y=-117+10$$

27y санын 10y санына қосу.

$$37y=-117+10$$

-117 санын 10 санына қосу.

$$37y=-107$$

Екі жағын да 37 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{107}{37}$$

-9x-2y=-2 теңдеуінде -\frac{107}{37} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

-2 санын -\frac{107}{37} санына көбейтіңіз.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{214}{37} санын алып тастаңыз.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{32}{37}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$