{l}{5x-2y=1}{15x-3y=-3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1 } \\ { 15 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-2y=1$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$5x=2y+1$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{5} санын 2y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y+1}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 15x-3y=-3.

$$15\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)-3y=-3$$

15 санын \frac{2y+1}{5} санына көбейтіңіз.

$$6y+3-3y=-3$$

6y санын -3y санына қосу.

$$3y+3=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$3y=-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}$$

\frac{2}{5} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4+1}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{5} бөлшегіне -\frac{4}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\\-\frac{15}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{2}{15}\left(-3\right)\\-1+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

5x және 15x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 15 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$15\times 5x+15\left(-2\right)y=15,5\times 15x+5\left(-3\right)y=5\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$75x-30y=15,75x-15y=-15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 75x-15y=-15 мәнін 75x-30y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$75x-75x-30y+15y=15+15$$

75x санын -75x санына қосу. 75x және -75x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-30y+15y=15+15$$

-30y санын 15y санына қосу.

$$-15y=15+15$$

15 санын 15 санына қосу.

$$-15y=30$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

15x-3y=-3 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$15x-3\left(-2\right)=-3$$

-3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$15x+6=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$15x=-9$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$