{l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=-2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y-2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-2}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-2y=-4.

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

2 санын \frac{-3y-2}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

-\frac{6y}{5} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{16}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-10y=-20 мәнін 10x+6y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y+10y=-4+20$$

6y санын 10y санына қосу.

$$16y=-4+20$$

-4 санын 20 санына қосу.

$$16y=16$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$y=1$$

2x-2y=-4 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-2=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$2x=-2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=1$$