{l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+10y=-70$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$5x=-10y-70$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

\frac{1}{5} санын -10y-70 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y-14$$

Басқа теңдеуде -2y-14 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

-8 санын -2y-14 санына көбейтіңіз.

$$16y+112+30y=20$$

16y санын 30y санына қосу.

$$46y+112=20$$

Теңдеудің екі жағынан 112 санын алып тастаңыз.

$$46y=-92$$

Екі жағын да 46 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x=-2y-14 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

-2 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=4-14$$

-14 санын 4 санына қосу.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-10,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

5x және -8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -40x+150y=100 мәнін -40x-80y=560 мәнінен алып тастаңыз.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

-40x санын 40x санына қосу. -40x және 40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-80y-150y=560-100$$

-80y санын -150y санына қосу.

$$-230y=560-100$$

560 санын -100 санына қосу.

$$-230y=460$$

Екі жағын да -230 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

-8x+30y=20 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

30 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$-8x-60=20$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$-8x=80$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-10,y=-2$$