{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=20$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$48x+40y=1280$$

Теңдеудің екі жағынан 40y санын алып тастаңыз.

$$48x=-40y+1280$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{48} санын -40y+1280 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

120 санын -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} санына көбейтіңіз.

$$-100y+3200+80y=2800$$

-100y санын 80y санына қосу.

$$-20y+3200=2800$$

Теңдеудің екі жағынан 3200 санын алып тастаңыз.

$$-20y=-400$$

Екі жағын да -20 санына бөліңіз.

$$y=20$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3} теңдеуінде 20 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

-\frac{5}{6} санын 20 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{80}{3} бөлшегіне -\frac{50}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=20$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=20$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x және 120x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 120 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 48 санына көбейтіңіз.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Қысқартыңыз.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5760x+3840y=134400 мәнін 5760x+4800y=153600 мәнінен алып тастаңыз.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

5760x санын -5760x санына қосу. 5760x және -5760x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

4800y санын -3840y санына қосу.

$$960y=153600-134400$$

153600 санын -134400 санына қосу.

$$960y=19200$$

Екі жағын да 960 санына бөліңіз.

$$y=20$$

120x+80y=2800 теңдеуінде 20 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$120x+80\times 20=2800$$

80 санын 20 санына көбейтіңіз.

$$120x+1600=2800$$

Теңдеудің екі жағынан 1600 санын алып тастаңыз.

$$120x=1200$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=20$$